以一個簡單的一維邊界值問題 介紹嵌入式無網格法

Abstract

在工程上, 許多考量的物理現象均以微分方程式描述之, 故求解微分方程式在工學院必修課程之工程數學中, 佔有很大比重。 實務上, 由於許多條件的限制, 要解決的問題通常很難用解析的方式求解, 而必須仰賴數值方法。 傳統的數值方法如有限差分法 (Finite Difference Method)、 有限元素法 (Finite Element Method) 等, 均必須要有網格才能計算, 而網格的品質大大影響到計算結果, 故人員必須長時間接受產生網格的訓練, 才有辦法在使用傳統數值方法時能得心應手。 在一些控制方程式具有基本解 (Fundamental solution) 的問題中, 可利用邊界元素法 (Boundary Element Method) 降一個維度。 三維問題, 只需在邊界曲面上佈 設面元素, 而二維問題, 則只需在邊界曲線上佈設線元素, 可大幅減少計算量。 有關邊界元素法之介紹, 可參考陳與洪 (1992) [1]。 不過, 要在邊界上佈設元素還是需要一些經驗和熟練度。相較於需要網格的傳統數值方法, 無網格法為近二、 三十年來新興的一種數值方法。 無網格法又有強式與弱式之分。 強式法之數學表示式較為直接, 但易有數值不穩定的問題。 而弱式法為了避免數值不穩定, 必須大量使用數值積分, 故雖為目前無網格法之主流, 入門門檻反而比傳統需要網格的數值方法還高 [2, 3]。 各無網格法之詳細發展歷程及特點, 可參閱相關文獻 [2, 3, 4]。強式無網格法可分為以徑向基底函數(Radial Basis Function, RBF) 為基底的和以局部多項式 (Local Polynomial) 為基底的。 以徑向基底函數為基底之強式無網格法主要為全域型 (Global type), 也有一些為局部型 (Local type)。 所謂全域或局部, 係指進行配點 (Collocation) 時, 取計算域裡的所有結點來做, 或是只取配點中心之鄰近結點來做。 而以局部多項式為基底之強式無網格法, 則必為局部型, 且須搭配加權最小二乘法 (Weighted-Least-Squares approach) 或移動最小二乘法 (Moving-Least-Squares approach)。 這類強式無網格法, 較具代表性的有 O˜nate et al. (1996) [5] 之有限配點法 (Finite Point Method), 以及廣義有限差分法 (General Finite Difference Method)。