莫耳圓與二階張量關係之研究及其 Mathematica 動畫模擬 (上)

Abstract

本文第一作者係台灣工業與應用數學會(TWSIAM)副理事長, 從事工程數學教育二十餘年, 發現工程師不甚了解張量, 數學家不熟悉莫耳(Mohr)圓, 而少了跨領域的交流, 本文即在此前提動機下寫成。 本文係探討莫耳圓與二階張量關係。 為打破張量艱澀難懂之迷思, 不落窠臼, 加強學子學習成效, 將莫耳圓與二階張量在力學與數學兩方面建立系統性思考。 從張量角度出發, 輔以莫耳圓、分量式與矩陣式三種形式推導, 並探討二階張量與莫耳圓間之等價關係。 再引至不變量與固有值問題探討, 建立材料力學中樑受彎曲時斷面強軸、弱軸與主應力、 主應變概念, 並可說明為何工字樑或 I 型樑在土木工程上相當普遍。 本文將物理量分析(慣性矩、 應力與應變)、 幾何圖示(莫耳圓)與數學思維(張量)相融合, 引導學生將材料力學與工程數學融會貫通。 希冀無論在教師教學或學生學習上, 都能有實質幫助, 使張量不再令人望而卻步。 在此透過連結數學張量與工程力學架構, 讓讀者能有溫故知新的收穫。 最後, 以 Mathematica 符號運算軟體的動畫模擬功能為輔助, 以動畫呈現觀察座標系統改變情況下, 各物理量分量之變化與莫耳圓中不變量之驗核。