Fast and Accurate Algorithms to the Inverse Geodesic Sailing without Spherical Trigonometry

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簡歷

基本資料

Project title

Code/計畫編號

MOST104-2410-H019-032

Translated Name/計畫中文名

快速及精確測地線航法反解之演算法

Project Coordinator/計畫主持人

Wei-Kuo Tseng

Funding Organization/主管機關

National Science and Technology Council

Department/Unit

Department of Merchant Marine

Website

https://www.grb.gov.tw/search/planDetail?id=11565744

Year

2015

Start date/計畫起

01-08-2015

Expected Completion/計畫迄

31-07-2016

Bugetid/研究經費

354千元

ResearchField/研究領域

交通運輸

"現代產業界使用地球的標準參考座標為世界地理系統(World Geodetic System，WGS 84)，航海學及測地學領域使用這個系統的參數進行相關地理物件運算，例如海圖及地圖的繪製、距離、方位、航點、面積、領海國界及地理物件邏輯運算等等皆需要使用WGS84的相關參數數據，航海領域傳統上為了簡化計算程序及方便手工查表或計算，使用地球的第一近似單位球模型，再利用簡單的球面三角公式解決航海問題，國際主要幾個關於地理物件資料庫定義直線為測地線或大橢圓，諸如微軟資料庫地理類別(Microsoft SQL Server’s Geography Type)、著名地理空間資訊函數庫(Geodyssey’s Hipparchus library)、國際事務機器的地理資料庫(IBM’s DB2 Geodetic Extender and Informix Geodetic Datablade)及甲骨文(Oracle)等等。基於關於及改進吾人之前測地線研究(Tseng, 2014)；本研究將會提出快速及精確的測地線之反解演算法，過去測地線反解演算法的相關文獻一直未見到適當的算法，Karney (2013)檢視Helmert (1880)一百多年前建立的理論後推導及建立相關於測地線反解演算法的積分數列展開公式，Karney (2013)提出的演算方法非常完美及快速，由於Helmert (1880)建立的理論非常複雜及需要使用三個積分數列展開公式迭代計算測地線反解問題，因此除了一般讀者不容易瞭解相關數學理論之外，還會增加運算成本及延長計算時間。數位電腦已經是現代的航海人員最主要的輔助工具，因此當代的航海業界可以考慮使用測地線演算法解決航海問題，在發展建立航海及測地的數值演算法及軟體前，必須先有涵蓋所有可能情況的簡潔理論的概念，才能進一步利用這些理論發展相關的演算法及編撰電腦程式碼。相當多的航海及測地的計算問題需要利用需要克萊羅常數(Clairaut constant)發展演算法，利用微積分的變數變換發展的測地線距離及經度的積分數列展開公式(series expansion)可以避免一般演算法需要使用大量的三角函數產生不必要的計算時間成本，當航點靠近對偶點區域(nearly antipodal region)會產生一些數值計算問題(Vincenty 1975)， Helmert (1880)利用縮減長度(reduced length)及測地線尺度(geodesic scale) 推導一些測地線相關於微分屬性，Karney (2013)利用Helmert (1880)使用縮減長度推導出的經度差對初航向微分方程式進行牛頓法迭代計算測地線反解問題，所謂的測地線反解問題即是已知橢球體上兩端點求取距離、初航向及終點航向，Hemlmert (1880)利用高斯曲率(Gaussian curvature)建立測地線附近分離微小距離t(s)的測地線(Near geodesic)複雜難懂微分方程式，他再利用這複雜的微分方程式建立隨著初始航向而變與距離公式有關新的經度差微分方程式，之後再利表 C011 共 2 頁第 2 頁用積分技巧及電腦符號代數系統(Computer Algebra System)建立相對應新的數列展開式以便進行牛頓法的計算。本計畫直接計算及建立經度差對克萊羅常數(Clairaut constant)或初航向微分方程式，利用電腦符號代數系統建立以克萊羅常數或初航向微分方程式為自變數的積分數列展開公式，所提出的經度差對克萊羅常數微分的積分數列展開公式與已知克萊羅常數經度差的積分數列展開公式有相同系數矩陣，因此可以大量的減少計算成本及加快運算速度，另外也提出對於對偶點附近區域近似位置較為簡易的計算方法，Hemlmert (1880)提出關於經度差對初航向微分方程的數學理論超過一般讀者的數學能力，而且在Karney (2013)文章中也介紹的含糊不清，相較於過去文獻提出的演算法，本研究提出測地線航法反解演算法簡單及推導過程較為直觀，而且在進行牛頓法迭代計算時使用的經度差積分展開公式及經度差對克萊羅常數或航向微分積分展開公式有相同係數矩陣，因為有相同係數矩陣又不包含距離積分展開公式，因此可以大大的減少計算時間，本研究另外的特點是不用球面三角公式及利用電腦代數運算系統(Computer Algebra Systems)或手工推導可以獲得使用者要求任意展開數列的項次，這些項次僅僅受限於使用的電腦能力，隨著科技及時代的變化；傳統電子海圖及地理資訊系統的演算法也會隨之變化，本研究所提出的方案可以做為相關業界標準演算法的參考依據之一。""Fast and Accurate algorithms to determine the geodetic inverse problem is presented which can improve and is based on the work (Tseng, 2014). This solution to the inverse problem will be useful and efficient for solving problems in navigation as well as geodesy. The algorithm to be described derives a series expansion in terms of parametric latitude that provides formulas to accurately determine the Clairaut constant, while avoiding reliance on spherical trigonometry. In addition, these series expansions are economical in terms of computational cost. For end points located at each side of a vertex, certain numerical difficulties arise. A Newton’s method together with an innovative method of iteration is presented which overcomes these shortcomings encountered in the situation of which the segment of geodesic passes the vertex. The series expansion of the rate of change of the longitude difference with respect to Clairaut constant provided here has the same coefficient matrices as provided in the integral of longitude difference and is derived without the series expansion of integral of the distance. The simpler series expansion may reduce the computational cost in the iteration of Newton’s method for the inverse geodesic sailing. The methods provided here, which don’t involve Spherical Trigonometry, are aided by Computer Algebra System (CAS) that can yield arbitrarily truncated series suitable to the user's accuracy objectives and which are limited only by machine precisions. Numerical experiments show that compared with other methods proposed in the past, the efficiency and accuracy of the proposed method is competitive and the similar 表 C011 共 2 頁第 2 頁 ability to the Karney’s method (2013). The alternative may be considered as candidate for the standard algorithm of GIS (Geography Information System) and ECDIS (Electronic Charter Display and Information) industry."

Keyword(s)

測地線
大圓
最短路徑
電腦代數系統

DSpace CRIS

Fast and Accurate Algorithms to the Inverse Geodesic Sailing without Spherical Trigonometry

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