應用有限差分法於兩條 ODE 聯立之耦合系統數值求解一以梁受載重而撓曲之分析為例

Abstract

望能讓學生在學習相關課程時, 有明確的學習目標, 減少困惑, 並且能產生學習數學的興趣, 進而培養出自我成長的能力。在數值方法的教科書中 (林聰悟、 林佳慧, 1997; Burden et al., 2015), 大多以單一變數之邊界值問題來做為例說, 只解一條微分方程式。 然而在實務上, 許多問題的變數不只一個。 除非有師徒傳承, 否則一般讀者, 即使看懂了書中所寫的數值方法, 甚至能照著書中所講的步驟求 出三維 Laplace 方程式的數值解, 要進一步應用在數條方程式聯立的多變數耦合系統, 還是有一道待跨越的鴻溝。 本文所選之問題, 雖然自變數只有一個, 控制方程式僅為 ODE, 還沒複雜到偏微分方程式 (Partial Differential Equation, 簡稱 PDE) 那種程度, 但由於應變數有兩個, 是一個雙變數耦合之聯立系統, 還是比只有一條 ODE 的邊界值問題略為複雜, 恰好可做為進階的入門範例。 而且, 要求解的變數各具物理意義, 分別是梁的內部彎矩 M(x) 和垂直方向位移 v(x), 也可再次強調工程數學的應用性。在眾多的數值方法中, 以有限差分法 (Finite Difference Method) 最為直接易學, 故選之為本文用來做展示的數值方法。 希望藉由本文之例說, 能讓讀者對數值方法及其應用有進一步的了解, 進而將來能自行應用在所需分析的問題上。